Abstracts С. Анисов. Нижние оценки трансверсальной сложности 3-многообразий, расслоенных над S1 со слоем тор Сложность c(M3) трехмерного многообразия M3 (введенная С. В. Матвеевым в 1988 году) — это минимальное число вершин почти простого спайна многообразия M3; во многих случаях (но не всегда) сложность 3-многообразия равняется минимальному числу тетраэдров в его сингулярной триангуляции. Нахождение адекватных верхних оценок сложности данного многообразия, как правило, не вызывает затруднений, но задача об оценке снизу до сих пор остается почти неприступной. В статье рассмотрены многообразия, расслоенные над окружностью со слоем тор. Для них введено понятие трансверсальной сложности tc(M3) (т.е. допускаются лишь спайны, трансверсальные ко всем слоям). Дана нижняя оценка величины tc(M3) в терминах монодромии расслоения; задача сводится к геометрическому изучению действия модулярной группы на разбиении Фарея плоскости Лобачевского, что, в свою очередь, дает естественную конструкцию псевдоминимальных спайнов рассматриваемых многообразий. В заключительном параграфе обсуждаются возможные приложения предложенных в статье идей и методов к другим классам 3-многообразий. В. Арнольд. Статистика диаграмм Юнга циклов динамических систем, определенных автоморфизмами конечных торов Перестановка конечного множества из N элементов разлагает это множество на y циклов длин xs, порождая разбиение N = x1+…+xy. Длина x = x1, высота y и полнота λ = N/(xy) диаграммы Юнга x1 ≥ x2 ≥ … ≥ xy ведут себя для случайных больших разбиений как x ∼ aN, y ∼ b ln N, λ ∼ c/ln N. Конечный двумерный тор M — это произведение Zm×Zm, и его автоморфизм Фибоначчи посылает точку (u,v) в (2u+v,u+v) (mod m). Эта перестановка N = m2 точек конечного тора M определяет странную диаграмму Юнга, поведение которой (для большого m) совершенно непохоже на поведение диаграммы Юнга случайной перестановки N точек. В. Бухштабер. n-значные группы: теория и приложения Дан обзор наиболее важных результатов теории n-значных групп и некоторых ее приложений. Обсуждаются основные направления исследований. Изложение начинается с исходных определений и разворачивается как последовательность ключевых примеров, опирающихся на результаты из различных областей математики: алгебры, анализа, теории представлений, топологии и теории динамических систем. Статья адресована широкому кругу читателей. С. Дужин, Я. Мостовой. Игрушечная теория инвариантов Васильева В заметке строится теория инвариантов конечного типа для гладких гиперповерхностей в пространстве Rn. При n=1, 2, 3 эти инварианты допускают полное описание: они образуют полиномиальную алгебру от одной переменной. Т. Экедаль, Б. Шапиро, М. Шапиро. Первые шаги в теории полной вещественности мероморфных функций Ранее второй и третий автор сформулировали гипотезу, что любая рациональная кривая γ: CP1 → CPn, у которой все прообразы точек уплощения вещественны, сама становится вещественной кривой после соответствующего проективного преобразования образа. (Точкой уплощения p кривой γ мы называем точку, в которой сопровождающий репер Френе (γ′,γ″,…,γ(n)) вырождается.) В этой статье мы формулируем обобщение этой гипотезы случая мероморфных функций на вещественных алгебраических кривых высших родов и доказываем его для функций степеней 2 и 3, а также в некоторых других случаях. В. Горюнов. Логарифмические векторные поля для дискриминантов сложных функций Kf-эквивалентность — это естественная эквивалентность ростков отображений φ: Cm → Cn, гарантирующая, что их композиции f⋅φ с фиксированным ростком f функции на Cn совпадают с точностью до биголоморфизмов Cm. Мы показываем, что дискриминант Σ в базе Kf-версальной деформации ростка φ — свободный дивизор в смысле Саито, если множество критических точек f является множеством Коэна–Маколея коразмерности m+1, а все трансверсальные типы f — особенности серии A. Мы приводим алгоритм построения базисных векторных полей, касающихся Σ. Наша конструкция обобщает классический алгоритм Закалюкина для базисных полей, касающихся дискриминанта изолированной особенности функции. Особенности симметричных матриц, зависящих от двух параметров, разобраны детально. В этом случае, если особенность простая, наши базисные векторные поля напрямую связаны со сворачиванием инвариантов групп Вейля, рассмотренным Арнольдом. Д. Гранчаров, В. Серганова. О категории весовых sp(2n)-модулей с ограниченными кратностями Пусть g — конечномерная простая алгебра Ли. Через B обозначим категорию весовых ограниченных g-модулей, то есть модулей с ограниченными кратностями весов. Фернандо показал, что бесконечномерные весовые модули существуют только для алгебр sl(n) и sp(2n). В статье рассмотрен случай g = sp(2n). Мы доказываем, что B имеет достаточно проективных объектов тогда и только тогда, когда n > 1, и даем классификацию проективных модулей. Затем мы строим колчан с соотношениями, эквивалентный B. В случае n > 2 этот колчан дикий, для n = 2 получена классификация неразложимых объектов B. А. Хованский, Д. Новиков. Об аффинных гиперповерхностях, вторая квадратичная форма которых невырождена в каждой точке Согласно гипотезе Арнольда, вещественная проективная гиперповерхность, вторая квадратичная форма которой имеет постоянную сигнатуру (k,l), разрезает проективное пространство на две области, одна из которых содержит k-мерное проективное подпространство, а другая — l-мерное. В статье мы доказываем справедливость аффинной версии этой гипотезы для гиперповерхностей постоянной сигнатуры, при уходе на бесконечность асимптотически приближающихся к квадратичному конусу. Мы рассматриваем также поверхности отрицательной кривизны в R3, которые при уходе на бесконечность асимптотически приближаются к двум половинкам стандартного конуса вращения, каждая из которых параллельно перенесена на некоторый вектор. Мы показываем, что если две сдвинутые половинки конуса пересекаются, то поверхность делит пространство на две части, каждая из которых содержит прямую линию. Если же две сдвинутые половинки конуса не пересекаются, то это, вообще говоря, неверно. Е. Сопрунова. Нули систем экспоненциальных и тригонометрических уравнений В 1996 году О. Гельфонд и А. Хованским была найдена формула для суммы значений многочлена Лорана по нулям системы, у которой многогранники Ньютона расположены по отношению друг к другу достаточно общим образом. Экспоненциальная замена переменных дает аналогичную формулу для экспоненциальных сумм с рациональными частотами. Естественно ожидать, что эта формула распространяется на суммы с любыми действительными частотами. В настоящей статье мы доказываем эту гипотетическую формулу для почти всех (т. е. для всех, кроме счетного числа) частот. Этот результат вытекает из интегрального представления для среднего значения экспоненциальной суммы по нулям экспоненциальной системы, также доказанного в статье. В. Турчин. Об обобщении одночленного соотношения на высшие гомологии длинных узлов В работе рассматривается спектральная последовательность Васильева для пространства длинных узлов. Грубо говоря, мы отвечаем на вопрос, что происходит, если в формальных алгебраических вычислениях исключить страты, отвечающие непогружениям. На спектральной последовательности определяются различные алгебраические структуры. Из общих теорем про эти структуры следует, например, что биалгебра хордовых диаграмм является полиномиальной для любого поля коэффициентов. А. Варченко. Бете-анзац для набора гиперплоскостей Мы показываем, что шаповаловская норма вектора Бете в модели Годена равна гессиану логарифма значения соответствующей мастер-функции в соответствующей изолированной критической точке. Мы показываем, что различные векторы Бете ортогональны. Эти факты являются следствиями общей конструкции типа анзаца Бете, предложенной в этой работе и ассоциированной с произвольным набором гиперплоскостей. О. Виро. Число Уитни замкнутой вещественной алгебраической аффинной кривой типа I Число Уитни замкнутой вещественной алгебраической кривой, разбивающей свою комплексификацию и снабженной комплексной ориентацией, выражается в терминах поведения комплексификации этой кривой на бесконечности. |
 |
Moscow
Mathematical Journal |
 |
||