Abstracts В. Арнольд. Эргодические и арифметические свойства динамики и орбит геометрической прогрессии Умножение на константу (например, на 2) действует на множестве Z/nZ вычетов по модулю n как динамическая система. Все её циклы, взаимно простые с n, имеют один и тот же период T(n). В каждой орбите элементы образуют геометрическую прогрессию вычетов, и их число равно T(n). В статье приводится много новых фактов об арифметических свойствах этих периодов и орбит. Эти факты обобщают малую теорему Ферма (перенесённую Эйлером на случай, когда n не просто). Хаотичность орбиты измеряется некоторым параметром случайности, который сравнивает распределение расстояний между соседними точками орбиты с аналогичным распределением для случайно выбранных T вычетов (последнее распределение является биномиальным). Вычисления показывают некоторое явление взаимного отталкивания соседей, так чтобы не слишком сильно приблизиться к остальным точкам той же орбиты. Похожее явление отталкивания также наблюдается для простых чисел (и показывает неслучайность их распределения), а также для арифметических прогрессий вычетов (степень неслучайности последних прогрессий близка к степени неслучайности простых чисел). Статья также содержит много гипотез, включая гипотезу о бесконечности множества пар простых чисел вида (q,2q+1) (как, например, (3,7), (11,23), (23,47)), с одной стороны, и гипотезу о структуре некоторых идеалов в мультипликативной полугруппе нечётных целых чисел, с другой стороны. М. Брискин, И. Йомдин. Касательная проблема Гильберта для уравнения Абеля Две классические проблемы о полиномиальных векторных полях — 16 проблема Гильберта о максимальном числе предельных циклов в таких системах и проблема Пуанкаре о центре и фокусе, т. е. об условиях замкнутости всех траекторий системы вокруг её критической точки — могут быть естественно переформулированы для дифференциального уравнения Абеля y' = p(x)y² + q(x)y³. В последнее время были обнаружены связи между условиями центра для уравнения Абеля и композиционным разложением P = ∫ p и Q = ∫ q, с одной стороны, и условиями зануления моментов mi,j = ∫ Pi Qj q, с другой. На основе этих результатов мы начинаем в настоящей статье изучение «касательной проблемы Гильберта» для уравнения Абеля: ограничить число нулей функции I(t) = ∫ab (q(x)dx)/(1−tP(x)). Д. Долгопят. Теория Лившица для компактных групповых расширений гиперболических систем Мы обобщаем теорию Лившица на быстро перемешивающие компактные групповые расширения диффеоморфизмов Аносова. А. Глуцюк. О группе монодромии при слиянии особых точек Рассматривается линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с комплексным временем, имеющее нерезонансную иррегулярную особую точку. Мы исследуем его как предел семейства уравнений со сливающимися фуксовыми особенностями. В 1984 г. В. И. Арнольд поставил следуюший вопрос: верно ли, что некоторые операторы из группы монодромии возмущённого (фуксова) уравнения стремятся к операторам Стокса невозмущённого уравнения? Другая версия этого вопроса была поставлена Ж.-П. Рамисом в 1988 г. В статье рассматривается только случай ранга Пуанкаре 1. В размерности 2 доказывается, что, как правило, ни один оператор монодромии не стремится к оператору Стокса. С другой стороны, доказывается (в произвольной размерности), что коммутаторы подходящих (нецелочисленных) степеней операторов монодромии вокруг особых точек стремятся к операторам Стокса. Дж. Гукенхеймер, Р. Хайдук. Утки в сложенных узлах Сложенные особенности появляются типичным образом в сингулярно возмущенных системах дифференциальных уравнений с двумя медленными и одной быстрой переменными. Сложенные особенности могут быть сёдлами, узлами или фокусами. Утки — это траектории, идущие от устойчивого листа медленной поверхности к неустойчивому. Бено дал подробное описание потока в окрестности сложенного седла, но фазовый портрет около сложенных узлов был описан лишь частично. В настоящей работе исследуются такие фазовые портреты, описываются потоки в случаях модельных систем со сложенным узлом. Мы доказываем, что в этих случаях число решений-уток не ограничено. Дж. Хаббард. Параметризация неустойчивых и сильно неустойчивых многообразий Теоремы о существовании и единственности неустойчивых многообразий хорошо известны. В настоящей статье мы докажем некоторые более точные утверждения. Пусть f: (Cn,0) → Cn — росток аналитического диффеоморфизма, производная Df(0) которого имеет собственные значения λ1, …, λn, такие что |λ1| ≥ … ≥ |λk| > |λk+1|≥ … ≥ |λn|, причём |λk|>1. Доказывается, что существует единственное k-мерное инвариантное многообразие, у которого касательное пространство в нуле порождено обобщёнными собственными векторами, отвечающими первым k собственным значениям. Это многообразие аналитически зависит от f. Кроме того, имеется естественная параметризация этого «сильно неустойчивого многообразия», продолжающаяся до голоморфного отображения Ck → Cn (в случае, когда f определено на всём пространстве Cn) и являющаяся погружением в случае, когда f — глобальный диффеоморфизм. Доказываются похожие утверждения для устойчивых многообразий. Локальные версии последних утверждений аналогичны предыдущим. С другой стороны, их глобальные версии сильно отличаются от предыдущих глобальных утверждений для неустойчивых многообразий. В. Калошин. Геометрическое доказательство существования стратификации Уитни В этой статье мы даем простое геометрическое доказательство существования так называемой стратификации Уитни для (полу)аналитических и (полу)алгебраических множеств. Грубо говоря, стратификация — это разбиение множества с особеностями на многообразия так, что эти многобразия регулярно примыкают друг к другу. Доказательство, предложенное в статье, не использует аналитических формул, а лишь качественные рассуждения. Оно основано на следующем замечании: если два многообразия V и W из разбиения имеют разные размерности и V ⊂ \bar W, тогда особенности разбиения в точке x из V соответствуют неединственности предела касательных плоскостей TyW при y стремящемся к x. С. Каток, И. Угарковичи. Геометрически марковские геодезические на модулярной поверхности Метод Морса для кодирования геодезических на поверхности постоянной отрицательной кривизны основан на регистрации сторон данной фундаментальной области пересекаемых геодезической. Для модулярной поверхности со стандартной фундаментальной областью каждой геодезической, за исключением тех, которые идут в касп хотя бы в одном из направлений, сопоставляется бесконечная в обе стороны последовательность ненулевых целых чисел, называемая её геометрическим кодом. В этой статье мы показываем, что множество допустимых геометрических кодов не является конечнократной топологической цепью Маркова, и идентифицируем максимальную (однократную) топологическую цепь Маркова, состоящую из допустимых геометрических кодов, которые, также как и соответствующие им геодезические, мы называем геометрически марковскими. Кроме того, мы получаем оценку снизу топологической энтропии геодезического потока, ограниченного на это множество геометрически марковских геодезических. К. Ханин. Д. Хмелёв, А. Соболевский. О скоростях лагранжевых минимизирующих траекторий Рассматриваются минимизирующие траектории натуральной неавтономной лагранжевой системы в Rd с лагранжианом L(x,v,t) = |v|β/β − U(x,t), β>1. При условии, что потенциал U и его градиент равномерно ограничены, показано, что абсолютные значения скоростей минимизирующих траекторий на интервале времени длины T оцениваются сверху величиной K log2/β T. Показано также, что данная оценка является асимптотически точной. Л. Ортиз-Бобадилья, Е. Росалес-Гонзалез, С. Воронин. Теоремы о жесткости для типичных дикритических ростков голоморфных слоений и векторных полей в (C²,0). Рассматривается класс Vn+1d дикритических ростков голоморфных векторных полей в (C²,0) с нулевой n-струей в нуле. Показано, что для типичных ростков этого класса формальная эквивалентность влечет аналитическую. Аналогичный результат установлен для орбитальной эквивалентности. В работе также получена формальная, формальная орбитальная и аналитическая орбитальная классификации типичных ростков из Vn+1d (по действию группы замен координат с тождественной линейной частью). Д. Панаццоло, Р. Руссари. Бифуркации каспидальной петли, сохраняющие нильпотентную особенность Каспидальная петля гладкого векторного поля X0 на плоскости — это особый цикл (полицикл), образованный каспидальной особенностью с 2-струёй, эквивалентной 2-струе поля y(∂/∂x) + (x²+b0xy)(∂/∂y), и связкой между её локальными сепаратрисами. Рассматриваются гладкие деформации Xλ в окрестности каспидальной петли L поля X0, зависящие от параметра λ∈(Rp,0). Кроме этого, предполагается, что при изменении параметра каспидальная особенность сохраняется. Пусть P0 — отображение Пуанкаре поля X0 вдоль L. В случае, если оно не тождественно, оно имеет асимптотическое разложение P0: u → u+a±|u|τ + …, где ± — знак u, a±≠0, а τ — коэффициент, принадлежащий последовательности S = {1,7/6,11/6,2,…} = {n∈N} ∪ {m+1/6, m∈N, m≥1} ∪ {p−1/6, p∈N, p≥2}. В этом случае мы говорим, что (X0,L) имеет конечную коразмерность, равную номеру числа τ в последовательности S. Основной результат статьи состоит в следующем: цикличность деформации Xλ имеет явную оценку сверху величиной e.o. κ0(s), где s — это коразмерность (e.o. κ0(s) асимптотически приближённо равно 5s/3 при s→∞). Эта оценка достигается на типичных деформациях. Для аналитических деформаций можно доказать, что цикличность всегда конечна и определяется коразмерностью соответствующего Абелева интеграла в случае неконсервативной деформации Гамильтонова векторного поля. К. Руссо. Инвариант орбитальной аналитической классификации для деформации седлоузла Рассматриваются типичные семейства двумерных аналитических векторных полей, являющиеся деформациями типичного (коразмерности 1) седлоузла в начале координат. Доказывается, что полный инвариант орбитальной аналитической классификации семейства задаётся деформацией модуля Мартине–Рамиса седлоузла. Модуль Мартине–Рамиса задаётся парой ростков конформных диффеоморфизмов, один из которых является аффинным отображением. Показано, что деформация последнего (составляющая инвариант семейства) также состоит из аффинных отображений. Идея доказательства состоит в сравнении данного семейства с «модельным» семейством (x2−ε)(∂/∂x) + y(1+a(ε)x)(∂/∂y). Нетривиальность модуля Мартине–Рамиса влечёт геометрические «патологии» для возмущённых векторных полей, состоящие в том, что возмущённое поле в рассматриваемом семействе ведёт себя не так, как возмущённое поле в стандартном семействе. А. Шильников, Л. Шильников, Д. Тураев. Катастрофа голубого неба в сингулярно возмущённых системах Показано, что катастрофа голубого неба, при которой рождается периодическая траектория неограниченно возрастающей длины, — это типичное явление в сингулярно возмущённых системах с как миминум двумя быстрыми переменными. Приводятся три различных механизма этой бифуркации, и мы показываем, что она объясняет переход между быстро осциллирующим и пачечным периодическими режимами. Д. Тураев. Пример резонансной гомоклинической петли бесконечной цикличности Описывается бифуркационная поверхность коразмерности 3 в пространстве Cr-гладких (r≥3) динамических систем (с размерностью фазового пространства 4 или выше), которая состоит из систем, имеющих притягивающее двумерное инвариантное многообразие, на котором лежит бесконечная последовательность периодических траекторий, накапливающихся к гомоклинической петле. |
 |
Moscow
Mathematical Journal |
 |
||