Abstracts Э. Бирстон, П. Милман. Алгоритмы разрешения особенностей I. Роль исключительных дивизоров Эта статья посвящена «принципу разрешения особенностей», общему для различных алгоритмов канонических разрешений особенностей в характеристике ноль, а также роли исключительных дивизоров в подлежащих локальных конструкциях. Мы сравниваем алгоритмы авторов и Виломайора с соавторами, различая между фундаментальным эффектом использования исключительных дивизоров и различными теоремами, которые получаются благодаря допустимой свободе в выборе «начальных данных». Мы показываем, как смысл «инвариантности» инварианта десингуляризации и эффективность алгоритма зависят от понятия «эквивалентности» набора локальных данных, используемых в индуктивной конструкции. И. Богаевский. Новые особенности и перестройки фронтов линейных волн Предмет статьи — распространение линейных волн на плоскости и в трехмерном пространстве. Мы описываем некоторые новые (по сравнению с ADE-классификацией) типичные особенности и перестройки волновых фронтов в случае, когда световая гиперповерхность имеет конические особенности. Такие особенности появляются, если волны распространяются в неоднородной анизотропной среде и управляются вариационным принципом. Ю. Бурман, М. Поляк. Геометрия формул Уитни Статья посвящена уточнениям и обобщениям классической формулы Уитни для числа двойных точек плоской кривой. Формула Уитни разбивается в серию тождеств, а также обобщается на случай кривых на двумерном торе, кривых без отмеченных точек и волновых фронтов. Результаты доказываются геометрическими методами с использованием логарифмических отображений, аналогичных гауссову, из конфигурационных пространств в C. Э. Сендра, Дж. Марсден, С. Пекарский, Т. Ратиу. Вариационные принципы для уравнений Ли—Пуассона и Гамильтона—Пуанкаре Хорошо известно, что существует вариационный принцип для уравнений Эйлера—Пуанкаре полученных на алгебре Ли g группы Ли G методом редукции принципа Гамильтона относительно действия группы G на себе самой, к примеру, левым умножением. Целью статьи является определение вариационного принципа для уравнений Ли—Пуассона на g* — дуальном пространстве к алгебре Ли g, а также обобщение этой конструкции. В более общем случае исходное конфигурационное пространство не является группой Ли, а представляет собой конфигурационное многообразие Q, на котором группа Ли G действует свободно и собственно, так что Q→Q/G становится главным расслоением. Лагранжева система, заданная на TQ и инвариантная относительно присоединенного действия группы G, может быть редуцирована путем соответствующего переопределения к системе на (TQ)/G, описываемой уравнениями Лагранжа—Пуанкаре. Аналогично, гамильтонова система на T*Q, инвариантная относительно коприсоединенного действия группы G, может быть приведена к системе на (T*Q)/G, описываемой уравнениями Гамильтона—Пуанкаре. Новые результаты, представленные в статье, включают получение вариационной структуры, соответствующей уравнениям Гамильтона—Пуанкаре, явное выражение для пуассоновой структуры на приведенных пространствах, упрощающее формулы Монтгомери, а также новое представление для симплектической структуры на ассоциированных симплектических листах. Полученные результаты проиллюстрированы на простом, но интересном примере системы твердого тела с внутренними роторами. С. Чмутов. Целочисленное обобщение теоремы Гусейн-Заде—Натанзона Несколько лет назад Н. А'Кампо предложил конструкции зацепления исходя из вещественной кривой, иммерсированной в диск. Для кривых, возникающих в теории особенностей при помощи метода вещественных шевелений, соответствующее зацепление является обычным зацеплением особенности. С. М. Гусейн-Заде и С. М. Натанзон доказали, что Arf-инвариант полученного таким образом узла равен J−/2 (mod 2) от соответствующей кривой. В этой статье мы опишем инвариант Кассона узлов А'Кампо как инвариант типа J± соответствующей иммерсированной кривой. Это дает целочисленное обобщение теоремы Гуссейн-Заде—Натанзона. Оказывается, что этот J2± инвариант является инвариантом второго порядка смешанного J+ и J− типов. Насколько мне известно, до настоящего момента никто не пытался изучать инварианты смешанного J± типа. Наш инвариант представляется простейшим таким инвариантом. С. Дужин. Разложимые кососимметрические функции Кососиметрическая функция F нескольких переменных называется разложимой, если она представима в виде определителя det(fi(xj)), где fi — функции одной переменной. Мы даем критерий разложимости в терминах тождеств типа Плюккера, налагаемых на функцию F. Э. Ферран. Видимые контуры и их лежандровы деформации Обсудив понятие видимого контура гладкого отображения φ компактного многообразия N в другое многообразие M, мы напоминаем конструкцию ассоциированного лежандрова подмногообразия в пространстве контактных элементов многообразия-образа M и рассматриваем разнообразные примеры. Основной результат состоит в том, что в некотором смысле не существует нетривиальных лежандровых деформаций видимых контуров: множество полученных этим способом лежандровых подмногообразий пространства контактных элементов вещественного проективного пространства замкнуто относительно лежандровой изотопии. М. Гехтман, М. Шапиро, А. Вайнштейн. Кластерные алгебры и пуассонова геометрия Рассматривается пуассонова структура, совместимая со структурой кластерной алгебры, а также согласованное с ней торическое действие на соответствующем многообразии. Изучаются пуассоновы и топологические свойства объединения орбит общего положния этого действия. В частности, подсчитано число компонент связности этого объединения в случае кластерной алгебры над полем вещественных чисел. В качестве примера подсчитано число компонент связности n-кратных пересечений открытых клеток Брюа в грассманиане G(k,n) над R. Дж. Гукенхеймер, Й. Сиань. Определение уравнений для бифуркаций и особенностей Теория особенностей и теория бифуркаций приводят к рассмотрению алгебраических многообразий в пространствах струйных расширений отображений. Явно определить уравнения для этих многообразий сложно и иногда трудно и с вычислительной точки зрения. В настоящей статье рассматриваются два примера: седлоузловая бифуркация периодических орбит и стратификация Тома—Боардмана в теории особенностей. Седлоузловые бифуркации периодических орбит определяются их матрицами монодромий. Бифуркация появляется, когда разность между матрицей монодромии и единичной матрицей имеет двумерное нильпотентное подпространство. Мы обсуждаем численные методы определения этой нильпотентности. Стандартное определение стратификации Тома—Боардмана некоторого отображения включает в себя вычисление ранга отображения, ограниченного на подмногообразия. Без явных формул для этих подмногообразий определение ранга есть сложная вычислительная задача. Мы иначе формулируем определяющие уравнения для подмногообразий стратификации, вводя минимальные множества регулярных определяющих уравнений для каждого страта. В. Харламов, Ф. Соттиль. Максимально перегибчатые вещественные рациональные кривые Мы делаем первые шаги в топологическом исследовании вещественных рациональных плоских кривых, имеющих только вещественные точки перегиба. Существование таких кривых следует из вещественного варианта исчисления Шуберта, и их исследование дает приложения к важной гипотезе, относящейся к этому исчислению, — гипотезе Шапиро и Шапиро. Мы получаем запреты на число вещественных узловых точек таких кривых и строим кривые, реализующие экстремальные значения числа вещественных узлов. Эти построения дают в качестве следствия существование таких вещественных решений в некоторых проблемах исчисления Шуберта. В заключение мы обсуждаем максимально перегибчатые кривые малых степеней. Б. Хесин. Геометрия многомерных спиральностей Мы рассматриваем интерпретацию многомерных спиральностей и инвариантов Хопфа—Новикова с точки зрения броуновской эргодической теоремы. Мы также дает обзор результатов, связных с теоремой В. И. Арнольда об асимптотическом инварианте Хопфа на трехмерных многообразиях и недавних работ по зацеплениям векторного поля и слоения, асимптотическим числам пересечений, систем коротких путей и связи с инваиантом Калаби. А. Хованский, Д. Новиков. L-выпукло-вогнутые множества в вещественном проективном пространстве и L-двойственность В статье рассматривается следующий проективный аналог выпуклости. Множество X⊂RPn называется L-выпукло-вогнутым для фиксированного l-мерного подпространства L, если, во-первых, X∩L=∅, во-вторых, сечение множества X всяким пространством L', L'⊃L, размерности (l+1) выпукло, в-третьих, множество X∩L' вогнуто зависит от L'. В статье определяется L-двойственное множество XL⊥, являющееся L*-выпукло-вогнутым множеством в двойственном проективном пространстве. Согласно гипотезе Арнольда множество X содержит внутри себя подпространство размерности (n−l−1). Мы показываем, что из справедливости гипотезы Арнольда для множества X вытекает ее справедливость для множества XL⊥. Эта теорема — составная часть нашего доказательства гипотезы Арнольда для L-выпукло-вогнутых множеств в RP3. А. Нейштадт. Об усреднении в двухчастотных системах с малыми гамильтоновыми и много меньшими негамильтоновыми возмущениями Рассматривается система, которая отличается от интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы малым гамильтоновым возмущением и много меньшим негамильтоновым возмущением. Невозмущенная система изоэнергетически невырождена. Для приближенного описания решений точной системы на интервале времени, длина которого обратно пропорциональна амплитуде негамильтонова возмущения, используется метод усреднения. Средняя по начальным условиям ошибка этого описания оценена сверху величиной, пропорциональной квадратному корню из амплитуды гамильтонова возмущения. С. Оревков, Е. Шустин. Псевдоголоморфные алгебраически нереализуемые кривые Мы доказываем, что существует вещественная неособая псевдоголоморфная кривая шестой степени в аффинной плоскости, которая не изоморфна никакой вещественной алгебраической кривой шестой степени. Этот результат завершает изотопическую классификацию вещественных алгебраических M-кривых степени 6. По сравнению с изотопической классификацией вещественных аффинных псевдоголоморфных M-кривых степени 6, полученной ранее первым автором, имеются три псевдоголоморфных алгебраически нереализуемых изотопических типа. Аналогичным образом мы показываем существование псевдоголоморфной алгебраически нереализуемой (M−1)-кривой степени 8 на квадратичном конусе со специальным расположением относительно выделенной образующей. Доказательства используют подход Гильберта—Роона—Гудкова, адаптированный вторым автором, и метод кубической резольвенты, предложенный первым автором. К. Петерс, Й. Стинбринк. Вырождение спектральной последовательности Лерэ для некоторых геометрических факторов Доказывается вырождение на уровне E2 спектральной последовательности Лерэ для рациональных когомологий отображения факторизации Un,d→Un,d/G, где Un,d — аффинное многообразие уравнений гладких гиперповерхностей степени d в Pn(C), а G — группа обратимых матриц. В. Седых. О топологии особенностей множеств Максвелла Найдены новые ограничения на сосуществование особенностей коранга 1 у множества Максвелла семейства гладких функций общего положения (в случаях, когда это множество не имеет более сложных особенностей). В частности, эйлерова характеристика каждого нечетномерного многообразия особенностей данного типа является линейной комбинацией эйлеровых характеристик четномерных многообразий особенностей больших коразмерностей. Коэффициенты этой комбинации универсальны (т. е. не зависят от семейства, а зависят только от классов особенностей). Мы получаем эти ограничения как следствие условий сосуществования особенностей коранга 1 на волновых фронтах общего положения. Эти условия были найдены недавно автором. В качестве приложения мы получаем многомерные обобщения классической формулы Бозе, связывающей число опорных окружностей кривизны гладкой замкнутой выпуклой плоской кривой общего положения с числом опорных окружностей, касающихся этой кривой в трех точках. М. Севрюк. Классическая теория КАМ в начале двадцать первого века Дается обзор некоторых недавних достижений в теории КАМ. В обзор включены только результаты, относящиеся к гамильтоновым системам и тесно связанные по содержанию с первоначальной теоремой Колмогорова 1954 года. Рассмотрены слабые условия невырожденности, классы Жеврэ гладкости семейств возмущенных инвариантных торов, «экспоненциальное сгущение» возмущенных торов, механизмы распада резонансных невозмущенных торов, возбуждение эллиптических нормальных мод невозмущенных торов и «атропные» инвариантные торы (т. е. торы, которые не являются ни изотропными, ни коизотропными). Все результаты излагаются по возможности неформально и без технических деталей. Методы доказательств, как правило, не обсуждаются. В. Васильев. Пространства эрмитовых операторов с простыми спектрами и их когомологии конечного порядка В. И. Арнольд изучал топологию пространств эрмитовых операторов в Cn с непростыми спектрами в связи с теорией адиабатических связностей и квантовым эффектом Холла. (Важные физические мотивировки в этой задачи принадлежат также С. П. Новикову.) Естественная фильтрация этих пространств множествами операторов с фиксированным числом собственных значений определяет спектральную последовательность, доставляющую интересную комбинаторную и гомологическую информацию об этой стратификации. Мы строим другую спектральную последовательность, также вычисляющую группы гомологий этих пространств; она основана на универсальной технике топологических порядковых комплексов и конических разрешений алгебраических множеств, обобщающей комбинаторную формулу включений—исключений и аналогичную конструкции инвариантов конечного порядка в теории узлов. Эта спектральная последовательность вырождается в члене E1, гипотетически мультипликативна, и при растущем n сходится к стабильной спектральной последовательности, вычисляющей когомологии пространства бесконечных эрмитовых операторов без кратных собственных значений, все члены Erp,q которой конечно порождены. Это позволяет определить когомологии конечного порядка для этого пространства и применить известные результаты и методы топологической теории флаговых многообразий к проблемам геометрической комбинаторики, в частности к топологии непрерывных частично упорядоченных множеств подпространств и флагов. И. Иомдин. Проблема центра для уравнения Абеля, суперпозиции и моменты Дифференциальное уравнение Абеля y'=p(x)y2+q(x)y3 имеет центр в паре комплексных чисел (a,b), если y(a)=y(b) для любого решения y(x) с достаточно малым значением y(a). Это условие тесно связано с классической проблемой центра для векторных полей на плоскости. Недавно условия центра удалось связать, с одной стороны, с композиционным разложением P=∫p и Q=∫q и, с другой стороны, с занулением моментов mi,j=∫PiQjq. Мы даем детальный обзор этих результатов. |
 |
Moscow
Mathematical Journal |
 |
||