Abstracts О. Богоявленский. Бесконечные семейства точных периодических решений уравнений Навье—Стокса Получена полная классификация всех периодических решений трехмерных уравнений Навье—Стокса с попарно не взаимодействующими модами Фурье. Соответствующие множества волновых векторов k ∈ Z3 необходимо принадлежат или прямым линиям, или плоскостям, или окружностям или сферам. Построенные точные периодические решения являются гладкими и существуют для всех значений времени t > 0. Э. Брискорн, А. Пратусевич, Ф. Ротенхойзлер. Комбинаторная геометрия особенностей и серии Арнольда E, Z, Q В статье рассматриваются дискретные кокомпактные подгруппы односвязной группы Ли SU&tilde(1,1). Форма Киллинга индуцирует на SU&tilde(1,1) структуру трехмерного лоренцева многообразия. Дается описание пространственных форм Лоренца Γ\SU˜(1,1) при помощи фундаментальных областей для подгруппы Γ, являющихся многогранниками с тотально геодезическими гранями. Описывается конструкция таких фундаментальных областей для всех подгрупп Γ, удовлетворяющих следующим условиям: пересечение Γ с центром группы SU&tilde(1,1) является подгруппой конечного индекса, и ¯Γ = Γ/Γ∩Z имеет неподвижную точку порядка большего, чем уровень Γ, в гиперболической плоскости. Конструкция зависит как от подгруппы Γ так и от выбора орбиты Γu. Лоренцева пространственная форма Γ\SU˜(1,1) является краем окрестности квазиоднородной особенности Горенштейна. Серии Арнольда E, Z, Q, в частности, состоят из таких особенностей. Вычисляются фундаментальные области для дискретных подгрупп, соответствующих особенностям из этих серий. Комбинаторная геометрия пространственных форм одинакова в каждой из серий и связана с классическими регулярными многогранниками. Дж. Брюс. О семействах симметричных матриц Мы рассматриваем ростки гладких семейств симметричных матриц. Используя естественное отношение эквивалентности — гладкую замену параметров и параметризованное сопряжение, мы получаем полный список гладких ростков и изучаем их геометрию. Дж. Дэймон. О наследии свободных дивизоров II: *-свободные дивизоры и полные пересечения Устанавливается критерий того, что для группы эквивалентностей G действующей на голоморфных ростках, дискриминант G-версальной деформации является свободным дивизором. Критерий формулируется в терминах Коэн—Маколеевости дискриминанта и Морозовости его особенностей в общей точке. Если одно из этих условий не выполняется, предлагается критерий для наличия у дискриминанта *-свободной дивизориальной структуры. Для нелинейных сечений *-свободного дивизора V мы получаем формулу для числа особых исчезающих циклов, модифицируя ранее полученную совместно с Д. Мондом формулу, принимая во внимание виртуальные особенности. Ю. Дрозд, Г.-М. Грюэль, И. Кашуба. Модули Коэна—Маколея над особенностями поверхностей Мы изучаем модули Коэна—Маколея над нормальными особенностями поверхностей. Используя метод Кана и распространяя его на семейства модулей, мы описываем модули Коэна—Маколея над каспидальными особенностями и доказываем, что минимально эллиптическая особенность имеет ручной тип Коэна—Маколея тогда и только тогда, когда она либо простая эллиптическая, либо каспидальная. Как следствие, мы получаем описание модулей Коэна—Маколея над лог-каноническими особенностями и особенностями гиперповерхностей типа Tpqr; в частности, все они — ручного типа Коэна—Маколея. Мы также вычисляем в рассматриваемых случаях колчан Ауслендера—Райтен категории модулей Коэна—Маколея. И. Дынников, С. Новиков. Геометрия уравнения треугольника на двумерных многообразиях В 1997 году авторами был предложен нетрадиционный подход к дискретизации дифференциально-геометрических связностей. В это же время мы начали изучение разностных «черно-белых операторов (уравнений)» первого порядка на триангулированных поверхностях с черно-белой раскраской треугольников. В настоящей работе мы развиваем теорию таких операторов и уравнений и указываем на их сходство с операторами комплексных производных ∂ и ¯∂. В. Эбелинг, С. Гусейн-Заде. Об индексе голоморфной 1-формы на изолированной особенности полного пересечения Классическая формула Эйзенбада—Левина—Химшиашвили описывает индекс аналитического векторного поля в начале координат в Rn (или, что то же самое, локальную степень аналитического отображения (Rn, 0) &rarr (Rn, 0)) как сигнатуру квадратичной формы на соответствующей локальной алгебре. Попытки обобщения этого результата привели к серии работ, посвященных определению и вычислению индекса аналитического векторного поля на вещественном аналитическом пространстве с изолированной особой точкой. Мы предлагаем другой подход. Вместо рассмотрения векторных полей на многообразии мы рассматриваем 1-формы. Можно определить понятия индексов вещественной 1-формы на ростке вещественного аналитического пространства с изолированной особой точкой и голоморфной 1-формы на комплексной изолированной особенности полного пересечения. Последний может быть описан как размерность некоторой алгебры. Г. Фельдер, Л. Стивенс, А. Варченко. Модулярные преобразования эллиптических гипергеометрических функций, полиномы Макдональда и преобразование сдвига Мы рассматриваем пространство эллиптических гипергеометрических функций ассоциированных с алгеброй sl2 и эллиптическими кривыми с одной отмеченной точкой. Это пространство является реализацией пространства конформных блоков в WZW модели конформной теории поля, ассоциированной с sl2. Модулярная группа действует на этом пространстве. Мы приводим формулы для матриц этого действия в терминах значений в корнях из единицы многочленов Макдональда, ассоциированных с sl2. А. Гивенталь. An−1-особенности и nKdV-иерархии Согласно гипотезе Виттена, доказанной Концевичем, определенная производящая функция для индексов пересечения на пространствах Делиня—Мамфорда модулей римановых поверхностей совпадает с определенной тау-функцией KdV-иерархии. В теории инвариантов Громова—Виттена симплектических многообразий у этой производящей функции имеются естественные обобщения, называемые \emph{тотальными пространствами} Известны две эквивалентные конструкции, мотивированные некоторыми результатами в теории Громова—Виттена, для тотальных потенциалов произвольных полупростых фробениусовых структур. В этой статье мы доказываем, что в случае фробениусовой структуры К. Сайто на миниверсальной деформации особенности An−1 такой тотальный потенциал является тау-функцией nKdV-иерархии. Мы выводим этот результат из более общей конструкции решений nKdV-иерархии из n−1 решений KdV-иерархии. В. Горюнов, В. Закалюкин. Прострые особенности симметрических матриц и подгруппы групп Вейля Aμ, Dμ, Eμ Анализируется классификация простых особенностей семейств симметрических матриц, зависящих от двух параметров, полученная недавно Брюсом и Тари. Мы показываем, что эти особенности классифицируются определенными подгруппами Y, порожденными отражениями, в группах Вейля X = Aμ, Dμ, Eμ. Диаграммы Дынкина таких подгрупп получаются из аффинной диаграммы X удалением вершин с суммарным показателем 2: удаление двух 1-вершин отвечает особенности матриц 2 × 2, а удаление одной вершины с показателем 2 отвечает особенности матриц 3 × 3. Это соответствие основано на изоморфизме дискриминантов и описании соответствующей группы монодромии детерминантной кривой. Более того, база миниверсальной деформации простой матричной особенности оказалась изоморфной пространству комплексному конфигурационному пространству группы X, факторизованному по подгруппе Y. Обсуждаются свойства решеток исчезающих гомологий особенностей симметрических матриц. Ю. Ильяшенко, В. Молдавский. Диффеоморфизмы окружности типа Морса—Смейла и модули эллиптических кривых Согласно классической конструкции В. И. Арнольда, каждому диффеоморфизму окружности соответствует однопараметрическое семейство эллиптических кривых. Арнольд предположил, что при стремлении к нулю параметра семейства модуль эллиптической кривой будет стремиться к (диофантову) числу вращения исходного диффеоморфизма. В статье доказано, что обобщение этой гипотезы на случай, когда диффеоморфизм окружности — типа Морса—Смейла, неверно. Доказательство опирается на теорию квазиконформных отображений. С. Натанзон. Эффективизация струнного решения двумерной иерархии Тода и теорема Римана о комплексной области Пусть D+ — содержащая 0 связная область с гладкой границей на комплексной плоскости C. Тогда согласно теореме Римана существует биголоморфная функция w(z) = (1/r)z + ∑j=0&infin pj z-j, переводящая D&minus = C\D+ во внешность единичного круга {w∈C: |w|>1}. Согласно результатам Забродина и Вигмана эта функция задается равенством log w = log z − ∂t0 ((1/2)∂t0 + ∑k≥1 (z-k/k) ∂tk)v где v = v(t0, t1, ¯t1, t2, ¯t2, ...) — одинаковая для всех областей функция от моментов области D−, удовлетворяющая иерархии двумерной иерархии Тода. В статье найдены рекуррентные формулы для коэффициентов ряда Тейлора функции v. Д. Новиков, С. Яковенко. Квазиалгебраичность расширений Пикара—Вессио Мы доказываем, что при определенных предположениях относительно спектра группы монодромии решения фуксовых систем дифференциальных уравнений на сфере Римана допускают глобальную и равномерную оценку числа изолированных корней. Это обстоятельство отдаленно роднит решения данных систем с алгебраическими функциями одной независимой переменной. Г. Патернэйн, Л. Полтерович, К. Ф. Сибург. Краевая жесткость лагранжевых многообразий, неустранимые пересечения и теория Обри—Мазера В настоящей работе обсуждается связь между симплектической топологией и теорией Обри—Мазера. Показывается, что некоторые лагранжевы многообразия, лежащие в оптической гиперповерхности, не могут быть продеформированы в область, ограничиваемую этой гиперповерхностью. Если же такая деформация существует, пересечение между продеформированным лагранжевым многообразием и гиперповерхностью содержит множество, имеющее динамическую интерпретацию, связанное с теорией Обри—Мазера. Это явление, хотя и в более слабой форме, наблюдается и без предположения об оптичности. И. Щербак, А. Варченко. Критические точки функции, $sl2$-представления и фуксовы дифференциальные уравнения с только однозначными решениями Предположим, что фуксово дифференциальное уравнение второго порядка имеет только однозначные решения. Предположим, что особыми точками уравнения являются точки z1, ..., zn и бесконечность с соответствующим экспонентами (ρ1,1,ρ2,1), ..., (ρ1,n,ρ2,n), (ρ1,&infin,ρ2,&infin). Тогда оказывается, что при общих z1, ..., zn число таких фуксовых уравнений равно кратности вхождения неприводимого sl2-представления размерности |ρ2,&infin − ρ1,&infin| в тензорное произведение неприводимых sl2-представлений размерностей |ρ2,1 − ρ1,1|, ..., |ρ2,n &minus ρ1,n|. Для доказательства этого факта мы вычисляем число критических точек подходящей функции, играющей центральную роль в конструкции гипергеометрических решений уравнения Книжника—Замолодчикова, ассоциированного с sl2, и конструкции Бете-векторов в модели Годена, ассоциированной с sl2. В качестве подобного продукта этого исследования мы заключаем, что Бете векторы составляют базис в пространстве состояний неоднородной модели Годена, ассоциированной с sl2. Б. Шапиро, А. Вайнштейн. Перечисление вещественных рациональных функций, все критические значения которых вещественны Изучается число вещественных рациональных функций степени $n$ (рассматриваемых с точностью до дробно-линейного преобразования независимой переменной) все критические значения которых фиксированы и различны. Дается комбинаторная интерпретация этих чисел и приводятся точные и асимптотические формулы для их вычисления в некоторых частных случаях. Д. Сирсма, М. Тибар. Деформации многочленов, граничные особенности и монодромия Мы изучаем топологию полиномиальных функций, исследуя их общие деформации. Объясняется, как несохранение суммарного «числа» особенностей в окрестности бесконечности связано с вариацией топологии в некоторых семействах граничных особенностей вдоль бесконечной гиперплоскости. С. Табачников. О скрученных петлях, скрученных мембранах и квадратичных гиперповерхностях Скрученная мембрана — это иммерсированное подмногообразие коразмерности 2 в аффинном пространстве, у которого нет параллельных касательных пространств. Используя теорию Морса, мы показываем, что скрученная мембрана не может лежать на квадратичной гиперповерхности. Мы также доказываем, что скрученная петля не может лежать на развертывающимся линейчатом диске в трехмерном пространстве. В. Владимиров, К. Ильин. Вириальные функционалы в динамике жидкости Цель настоящей статьи — показать, что функционалы аналогичные «вириалу» классической механики можно определить для некоторых динамических систем механики жидкости при условии, что эти динамические системы вытекают из принципа наименьшего действия Гамильтона. Главное требование к «вириалам» состоит в их возрастании в силу уравнений движения. Дается обзор применения таких функционалов в теории гидродинамической устойчивости и обсуждаются дальнейшие перспективы. В. Юдович. Одиннадцать ключевых проблем математической гидродинамики В статье обсуждаются современное состояние и перспективы решения ключевых проблем математической гидродинамики. Речь идет о вопросах глобальной разрешимости и единственности решения основных краевых и начально-краевых задач в теории идеальной и вязкой несжимаемой жидкости, об исследовании спектров устойчивости стационарных и периодических режимов, о возникновении вторичных, третичных и т. д. режимов течения в результате бифуркаций, об асимптотике исчезающей вязкости. Ставится ряд новых задач.
|
 |
Moscow
Mathematical Journal |
 |
||