Abstracts В. Бересневич, В. Берник, Д. Клейнбок, Г. Маргулис. Метрическая теория диофантовых приближений: теорема Хинчина—Грошева для невырожденных многообразий. В работе исследуются диофантовы свойства гладких невырожденных многообразий в n-мерном евклидовом пространстве. Основной результат показывает, что все такие многообразия имеют так называемый тип Грошева для расходимости (случай сходимости был исследован несколько ранее авторами этой работы). Этот результат фактически установливает критерий бесконечно частой приближаемости почти всех точек многообразия гиперплоскостями, которые задаются уравнениями с целыми коэффициентами, причем погрешность приближения зависит от максимума модулей этих коэффициентов. П. Делинь. Тензорные категории. Мы предлагаем суперматематический аналог теоремы, утвержающей, что, над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, категории представлений аффинных групповых схем с ассоциативным, коммутативным и обладающим единицей тензорным произведением характеризуются тем свойством, что достаточно большие внешние степени любого объекта обращаются в нуль. Внешние степени приходится заменить на произвольные функторы Шура. Г. Фалтингс. Групповые схемы со сторогим $\mathcal{O}$-действием. Пусть $\mathcal{O}$ обозначает кольцо целых в p-адическом локальном поле. Напомним, что $\mathcal{O}$-модули — это формальные группы с действием $\mathcal{O}$, индуцирующем скалярное действие на алгебре Ли. В работе это понятие обобщается на конечные плоские групповые схемы. Показано, что все обычные свойства сохраняются. В частности, выполняется двойственность Картье с заменой мультипликативной группы на группу Любина—Тэйта. Мы также показываем, что поднятия над $\mathcal{O}$-разделенными степенями контролируются модулями Дьедонне или, лучше, комплексами. Для этих фактов приходится изобретать новые доказательства, так как классический рецепт вложения в абелевы многообразия непригоден. Й. де Йонг. Подсчет числа эллиптических поверхностей над конечными полями. Вычисляется число классов изоморфизма эллиптических кривых данной высоты d над полем рациональных функций от одной переменной над конечным полем из q элементов. Мы также оцениваем число классов изоморфизма эллиптических поверхностей над проективной прямой, обладающих поляризацией относительной степени 3. Это приводит к верхней оценке на среднестатистический ранг 3-группы Зельмера этих кривых. Наконец, мы выводим новую верхнюю оценку на средний ранг эллиптических кривых в пределе при большом d; средний ранг оказывается асимптотически ограничен сверху 1.5+O(1/q). А. Панчишкин. Новый метод построения p-адических L-функций, ассоциированных с модулярными формами. Предложен новый метод построения допустимых p-адических мер, связанных с параболическими формами Гекке, исходя из распределений со значениями в пространствах модулярных форм. Используется канонический оператор проекции на подпространство, связанное с ненулевым собственным значением $\alpha$ оператора Аткина—Ленера Up. Построен алгебраический вариант почти голоморфных модулярных форм, и даны их приложения к построению p-адических мер. С. Влэдуц, М. Цфасман. Бесконечные глобальные поля и обобщенная теорема Брауэра—Зигеля. Работа преследует две цели. Во-первых, мы пытаемся создать теорию бесконечных глобальных полей, т. е. бесконечных алгебраических расширений $\mathbb{Q}$ или $\mathbb{F}_r(t)$. Для таких полей мы находим ряд численных инвариантов, а затем определяем и изучаем их дзета-функции. Во-вторых, для последовательностей числовых полей с растущим дискриминантом, мы доказываем обобщения границ Одлыжко—Серра и теоремы Брауэра—Зигеля, учитывающие неархимедовы нормирования. Это приводит к асимптотическим границам на отношение ${\log hR}/\log\sqrt{|D|}$ справедливым без стандартного условия $n/\log\sqrt{|D|}\rightarrow 0$, в частности, и в случае бесконечных неразветвленных башен. Затем мы приводим примеры башен полей классов, показывающие, что классическая теорема Брауэра—Зигеля без этого условия неверна. В качестве легкого следствия мы улучшаем существующие оценки на регуляторы числовых полей. Ю. Зархин. Очень простые 2-адические представления и гиперэллиптические якобианы Пусть $K$ поле нулевой характеристики, $n\ge 5$ целое число, $f(x)$ неприводимый над $K$ многочлен степени $n$, группа Галуа которого совпадает либо с полной симметрической группой $\mathrm{S}_n$, либо со знакопеременной группой $\mathrm{A}_n$. Пусть $C\colon y^2=f(x)$ соответствующая гиперэллиптическая кривая, и $X=J(C)$ ее якобиан, определенный над $K$. Для любого простого числа $\ell$ мы обозначаем через $V_{\ell}(X)$ соответствующий $\mathbf{Q}_{\ell}$-модуль Тэйта абелева многообразия $X$, а через $e_{\lambda}$ форму Римана на $V_{\ell}(X)$, отвечающую тэта-дивизору. Пусть $\mathfrak{sp}(V_{\ell}(X), e_{\lambda})$ — $\mathbf{Q}_{\ell}$-алгебра Ли симплектической группы, отвечающей кососимметрической форме $e_{\lambda}$. Пусть $\mathfrak{g}_{\ell,X}$ — $\mathbf{Q}_{\ell}$-алгебра Ли образа группы Галуа $\mathrm{Gal}(K)$ поля $K$ в $\mathrm{Aut}(V_{\ell}(X))$. Предполагая, что поле $K$ конечно порождено над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$, мы доказываем, что $\mathfrak{g}_{\ell,X}={\mathbf{Q}_{\ell}\operatorname{Id}} \oplus\mathfrak{sp}(V_{\ell}(X), e_{\lambda})$, где $\mathrm{Id}$ тождественный оператор.
|
 |
Moscow
Mathematical Journal |
 |
||