Abstracts Р. Агарваль, Д. О'Реган. Cингулярные дифференциальные, интегральные и дискретные уравнения: полупозитонный случай. Главную роль в этой работе играют методы неподвижной точки. В частности, для доказательства существования положительных решений некоторого общего класса краевых задач используются оценки решений снизу и теорема М. А. Красносельского о растяжении/сжатии конуса. Результаты и техника применимы также и к позитонным задачам. Д. Ахиезер, Д. Панюшев. Кратности в правилах ветвления и сложность однородных пространств. Пусть $H$—алгебраическая подгруппа связной алгебраической группы $G$, определенной над алгебраически замкнутым полем $k$ нулевой характеристики. Если $\lambda$—доминантный вес группы $G$, то $V_{\lambda }$—это простой $G$-модуль со старшим весом $\lambda $ и $d_{\lambda} = \dim V_{\lambda}$. Обозначим через $k[G/H]_{(\lambda )}$ изотипную компоненту типа $\lambda$ в $k[G/H]$. Если однородное пространство $G/H$ квазиафинно, то мы покажем, что отношение $k[G/H]_{(\lambda)}/ d_{\lambda}$ растет не быстрее чем некоторый полином от $\Vert\lambda\Vert $, степень которого есть сложность однородного пространства $G/H$. В случае когда $H$ связна и редуктивна это доставляет оценку коэффициентоа ветвления пары $(G,H)$ в терминах сложности $G/B_H$, где $B_H$—подгруппа Бореля в $H$. Получена классификация всех афинных однородных пространств $G/H$, таких что $G$ простая и сложность $G/B_H$ не больше чем 1. Приводятся также явные описания некоторых правил ветвления. С. Архипов. Полубесконечные когомологии тейтовских алгебр Ли. В этой заметке мы определяем полубесконечные когомологии тейтовских алгебр Ли, используя язык дифференциальных градуированных алгеброидов Ли с кривизной (CDG алгеброидов Ли). Р. Кокро. Заметки о квантовом тетраэдре. Мы описываем пространство путей на диаграммах Дынкина типа A, D, E, уделяя особое внимание графу $E_6$. Многие результаты А. Окнеану излагаются здесь в совсем элементраных терминах (манипуляции с квадратными или прямоугольными матрицами). Мы напоминаем понятие существенной матрицы графа и описываем её модулярные свойства по отношению к правым и левым действиям ``fusion''-алгебр. В случае графа $E_6$ существенные матрицы задают правый модуль по отношению к собственной ``fusion''-алгебре, но левый—по отношению к ``fusion''-алгебре $A_{11}$. Работа содержит два новых результата. 1) Мы показываем, как восстановить граф Окнеану квантовых симметрий диаграммы $E_6$ по естественному умножению в тензорном квадрате его ``fusion''-алгебры (квадрат следует брать над некоторой специальной подалгеброй); это—граф Кэли двух образующих двенадцатимерной алгебры $E_6\otimes _{A_3} E_6$ (где $A_3$ и $E_6$ относятся к коммутативным ``fusion''-алгебрам соответствующих графов). 2) С каждой точкой графа квантовых симметрий ассоциируется специальная матрица, описывающая ``торическую структуру'' диаграммы Дынкина; следуя Окнеану, в случае $E_6$ мы получаем двенадцать таких матриц размера $11\times 11$, одна из является модулярным инвариантом и входит в выражение для статистической суммы соответствующей конформной теории поля. Наш следующий вклад—простой алгоритм построения этих матриц. С. Дорти, М. Скриганов. Двойственность МакВильямса и метрика Розенблюма—Цфасмана. Недавно М. Ю. Розенблюм и М. А. Цфасман ввели новый класс нехэмминговых метрик на линейных пространствах над конечными полями. Мы рассматриваем орбиты линейных групп сохраняющих эту метрику и показываем, что весовые энумераторы, ассоциированные с этими орбитами, удовлетворяют тождествам типа МакВильямс для пар взаимодвойственных кодов. Далее, мы показываем, что соответствующие весовые спектры взаимодвойственных кодов связаны между собой преобразованиями, тесно связанными с многомерными обощениями многочленов Кравчука. Работа также содержит краткое обсуждение связи этих результатов с недавними теоремами Годзила и Мартина—Стинсона о соотношениях типа МакВильямс для ассоциативных схем и упорядоченных ортогональных массивов. О. Гельфонд, А. Хованский. Торическая геометрия и вычеты Гротендика. Рассматривается система из $n$ алгебраических уравнений $P_1=\dots = P_n=0$ в пространстве $(\mathbb C\setminus 0)^n$. Предполагается, что многогранники Ньютона этих уравнений достаточно общим образом расположены относительно друг друга. Пусть $\omega$—любая рациональная $n$-форма, регулярная в $(\mathbb C\setminus 0)^n$ вне гиперповерхности $P_1\dotsb P_n=0$. Ранее мы анонсировали явную формулу для суммы вычетов Гротендика формы $\omega$ по всем корням системы уравнений. В настоящей статье эта формула доказывается. Й. Хильгерт, А. Паскуале, Э. Винберг. Дуальное орисферическое преобразование Радона для полиномиальных функций. Пусть $X = G/K$—полупростое симметрическое пространство некомпактного типа. Орисферой в $X$ называется орбита максимальной унипотентной подгруппы группы~$G$. Множество $\Hor X$ всех орисфер является однородным пространством группы~$G$. Орисферическое преобразование Радона, введенное И. М. Гельфандом и М. И. Граевым в 1959~г., переводит всякую функцию $\phi$ на $X$ в функцию на $\Hor X$, получаемую интегрированием функции $\phi$ по орисферам. Мы даем явное описание дуального преобразования в терминах его действия на полиномиальные функции на $\operatorname{Hor} X$. Г. Джонс, А. Звонкин. Орбиты групп кос на ``кактусах''. Одним из следствий классификации простых конечных групп является тот факт, что нежесткие многочлены (т. е. многочлены, имеющие более двух критических значений), рассматриваемые как разветвленные накрытия сферы, имеют ровно три исключительных группы монодромии: одну в степени 7, одну в степени 13 и одну в степени 15. Исключительными мы назовем примитивные группы перестановок степени $n$, отличающиеся от $S_n$ и $A_n$. Мотивируя наше исследование задачей топологической классификации многочленов, которая восходит еще к работам ученых XIX века, мы обсуждаем методы изучения орбит групп кос на ``кактусах'' (упорядоченных множествах перестановок монодромии). Применяя эти методы, мы даем полную топологическую классификацию для трех указанных выше случаев. Е. Матеров. Формула Ботта для торических многообразий. Цель настоящей статьи—доказать точную формулу для размерности когомологий пучка $\Omega_{\mathbb P}^p(D)=\Omega_{\mathbb P}^p\otimes \mathcal O_{\mathbb P}(D)$ $p$-дифференциальных форм Зарисского, подкрученных на обильный пучок, на полном симплициальном торическом многообразии. Эта формула включает в себя некоторые комбинаторные суммы целых точек по граням многогранника—носителя $\mathcal O_{\mathbb P}(D)$. Сравнение двух версий формулы Ботта дает элегантные следствия для комбинаторики простых многогранников. Кроме того, мы получаем обобщение закона взаимности. В статье также обсуждаются некоторые применения формулы Ботта. С. Табачников. Эллипсоиды, полная интегрируемость и гиперболическая геометрия. Мы описываем новое доказательство интегрируемости связанных динамических систем: биллиарда внутри эллипсоида и геодезического потока на эллипсоиде (в евклидовом, сферическом или гиперболическом пространстве). Доказательство основано на конструкции метрики на эллипсоиде, непараметризованные геодезические которой совпадают с геодезическими стандартной метрики. Новая метрика индуцирована из гиперболической метрики внутри эллипсоида (модель Кэли—Клейна гиперболической геометрии).
|
 |
Moscow
Mathematical Journal |
 |
||